Éléments finis – 1

Prérequis

• Notions de base sur les problèmes d’élasticité linéaire
• Loi de Hooke, équilibre local, principe des travaux virtuels (PTV).

Descriptif de l’enseignement

Le cours est consacré à la formulation théorique de la méthode des éléments finis et à son implémentation dans l’environnement FreeFEM++, à partir de la formulation faible d’un problème linéaire. Il combine des fondements théoriques avec des travaux pratiques de programmation tout au long de l’enseignement.

La partie théorique du cours porte sur les fondements mathématiques de la méthode des éléments finis. Elle introduit la formulation faible des équations aux dérivées partielles ainsi que le choix des espaces fonctionnels de Sobolev correspondants. Le cours présente ensuite l’approximation de la solution dans un espace de dimension finie à l’aide de la méthode de Galerkin. La construction pratique des éléments finis est ensuite étudiée, notamment les fonctions de forme, l’intégration numérique et les schémas de quadrature, les points d’intégration, ainsi que le calcul des matrices de rigidité élémentaires. Enfin, l’assemblage du système global d’équations est présenté. Afin de consolider ces notions, un exercice pratique en Python est réalisé sur un exemple simple couvrant l’ensemble des étapes clés de la formulation par éléments finis.

Tout au long du cours, des travaux pratiques de programmation sont réalisés afin de se familiariser avec l’environnement FreeFEM++. Les bases de la programmation en C++ sont tout d’abord rappelées. Les fonctionnalités spécifiques de FreeFEM++, en lien avec les notions théoriques, sont ensuite présentées, notamment la génération de maillages, l’intégration numérique, le choix des espaces fonctionnels et l’implémentation de la formulation faible. Les outils de visualisation, tels que les outils graphiques de FreeFEM++ ainsi que le format VTK associé au logiciel ParaView, sont également présentés. Enfin, des simulations pratiques sont réalisées afin d’acquérir une expérience concrète de l’utilisation du logiciel.